El teorema de Gödel

En la matemática se pretende encontrar resultados que nos den información fiable sobre los objetos ideales con motivo de poder resolver problemas en otras partes. Por esto, las contradicciones son siempre un problema. Ya en el origen griego, se había empezado a hacer matemática de forma un tanto naïve, pero la aparición de las aporías de Zenón y otros problemas llevo a los criterios de organización fiable de una disciplina propuestos por Aristóteles (con aportaciones múltiples de varios pensadores de la época) que llevo a los elementos, de Euclides. Esta obra se erigió como modelo del saber puro y la exposición del mismo de forma elegante y fiable, ya que su estudio nos permitía conocer el mundo.

Añado el hecho que los griegos no solo desarrollaron una matemática geométrica, también tenían una aritmética y un álgebra muy incipiente que producían sus frutos de forma elegante, y también los otros trabajos de matriz más mecánica. Aunque ninguna de ellas tenia una presentación al estilo de los elementos de la geometría de Euclides.

También hay que comentar que también los matemáticos hindúes lograros una notable calidad y rigor en la exposición matemática, de gran importancia y singular influencia. Ahora no hablare de ello, para ir directamente al siglo xix.

Bueno, en Europa, las mates hindúes eran desconocidas directamente, y su modelo era el griego. Aunque a lo largo de la edad media y gracias a las aportaciones árabes, se avanzo mucho en la resolución de problemas algebraicos. Y entre el enlace de árabes y renacimiento italiano surgieron los intereses físico-mecánicos, que permitieron la inclusión del tiempo y otras caracterizaciones que ya inducían una fuerte relación entre geometría y álgebra. De allí salieron la geometría analítica y especialmente el análisis infinitesimal.

Todo esto ya lo comentare mejor, donde quiero llegar es al hecho que todo estos desarrollos no tenían el mismo prestigio, ya que no se havia llegado a la formulación actual y todo parecía como muy chapucero. Es importante que os quedéis con esa idea porque tenía mucho peso en la época. De hecho, durante la edad media y un poco después, se utilizaba la palabra matemático para designar a los astrólogos y otros magos pseudo científicos de la época (influencias de Pitágoras, neopitagorismo, neoplatonismo y otras místicas no matemáticas como la kábala, el hermetismo y la alquimia...), y los que trabajaban en los que hoy se conoce como matemáticas recibían el nombre de geómetras, tenía mucha mas prestigio.

A todo eso era el siglo xvii, el de Newton y Leibniz y otros, pero ya el xvi había notables avances. El siglo xviii, fue de gran avance en todas partes, evolucionó la matemática casi de forma festiva. Hacer mates y ciencia en este siglo era una fiesta: se resolvían problemas y se llegaba al conocimiento del mundo y se lograban avances en la ingeniería, medicina y demás de forma muy entusiasta...

Luego vino la tormenta. Con tanto entusiasmo y tan poca atención aparecieron muchos problemas (especialmente en mates, en cuanto a las tan temidas contradicciones). Salieron lo que se llamo monstruos, por todas partes... las cosas no cuadraban. Se vio que si haciendo operaciones habituales como se había ido haciendo salían todo un cúmulo de problemas, no se podía asegurar que lo que se daba por cierto lo fuera realmente.

De hecho, se trato de una crisis notable a la que siguió una revolución en los criterios de verdad: lo que antes se había ido haciendo era mostrar la ruta que te permitía comprobar que el resultado era lo que tenía que ser, donde la intuición procedente de la realidad tenía un peso demoledor - se puede decir que lo que daba credibilidad a las matemáticas y confianza en su certeza era el hecho que concordaban con lo que después funcionaba en el mundo, su utilidad era suficiente para no tener que preocuparse de lo que no quedaba nada claro (lo mismo sucede hoy con la mecánica cuántica).

Las demostraciones que se usaban en el siglo xviii fueron consideradas muy ingenuas posteriormente, se les criticaba a los matemáticos el haber abandonado el elegante método de demostración euclidiano y también arquimediano por argumentos dudosos y con una base de ficción. (Ah, y estábamos bajo la influencia de Kant, quien, físico de formación antes que filósofo, había legado su visión del buen quehacer matemático).

Luego vino otro problema, la geometría dejo de ser la geometría y paso a ser las geometrías. En realidad, lo que aseguraba el prestigio milenario de la geometría griega era el hecho que era la verdadera geometría, que describía el mundo y nos daba información de las propiedades y posibilidades de lo que en nuestro espacio puede ser y puede ser visto, manipulado. O sea, más de lo mismo. Eran muchas cosas al mismo tiempo. Por un lugar el descubrimiento de las geometrías no euclídeas, por otro el de la geometría proyectiva, luego, con el estudio y comprensión de los números complejos se llego a la geometría inversiva y a dudas sobre lo que era real: había demasiadas geometrías posibles, esta superabundancia no era grata.

Las causas son múltiples, en cuanto a las geometrías no euclídeas vienen de una antigua discusión sobre las bases mismas de los elementos de Euclides, el problema relacionado con el famoso quinto postulado o postulado de las paralelas (por un punto exterior a una recta dada pasa una y solo una recta paralela a esa recta)- no me extenderé con esto ahora. La solución que se encontró como la mas satisfactoria fue el inicio de una catástrofe, porque luego consiguió colarse también la geometría proyectiva, desarrollada inicialmente por Desargues en el renacimiento para las cuestiones de perspectiva en el arte, consiguió un tratamiento mas refinado por parte de matemáticos ingleses y se fue aceptando como otra posibilidad a tener en cuenta.

El problema con los números complejos viene de antiguo, también. Para empezar, había el conflicto entre números y cantidades numéricas que evidenciaba la dificultad de poder comprender ciertos números si no se disponía de una muy buena notación. Los griegos admitían como números a los números naturales (o de contar: 1, 2, 3, 4,...) y a los cocientes de estos: los números racionales POSITIVOS. No admitían el cero ni aun menos los números negativos. El origen conceptual de esta inadmisión era claro, no es evidente la forma de representar en el mundo cantidades negativas, los cardinales de objetos conocidos no admiten la negación numérica. Y en cuanto a cero, pues era un claro caso de horror vacui, pues aunque se podía aceptar como caso límite (en un cierto sentido que los elegantes criterios escogidos no respaldaban) era muy engorroso tener que tratar con las excepciones y provocaba ciertas dificultades de método. Por otro lado, de entre los números irracionales, que eran claramente problemáticos según ciertos criterios de representación y otros razonamientos de carácter discursivo, además del afán muy griego de precisión y exactitud - las aproximaciones podían ser validas para las cuestiones prácticas pero no para las sublimes aspiraciones de los filósofos y matemáticos. Desde luego se llego a un cierto compromiso de aceptar las magnitudes geométricas como generadoras de lo que se designo de forma definida a los números, como cocientes de magnitudes conmensurables.

Saltándome todo esto, en el renacimiento y a consecuencia de la resolución algebraica de la ecuación de tercer grado, tuvieron el problema de tener que enfrentarse con raíces cuadradas de números negativos. Se trata de una circunstancia ciertamente cómica en el sentido que, rechazadas por principio, había ejemplos de ecuaciones con ciertas soluciones triviales e inmediatas que no se lograba deducir con el algorismo general para su resolución, ya que se topaba con estas molestas raíces imposibles.

La cuestión era que, sin tener nada claro el concepto de número, que era fundamental para el análisis infinitesimal, iban apareciendo intrusos por todas partes. El álgebra no era ajena a ello. La representación posicional hindú permitía un cierto alivio, pero sin un claro enfoque y con las muchas reticencias naturales a lo que no puede ser explícitamente explicado no permitía mucho más.

Cuando al fin se logro organizar el sistema numérico en la forma como lo conocemos hoy, con los números reales como una recta con los negativos al lado opuesto de los positivos respecto al cero y, luego, el resto de los complejos como un plano entero... surgieron todas las posibilidades que esta maravillosa organización daba de si.

Aun hay más. El análisis infinitesimal representaba el estudio de propiedades de todo lo que tiene relación con los cambios en el tiempo, pero aun más, también tiene relación con la capacidad de solucionar una formidable variedad de problemas de áreas, volúmenes, superficies que se tocan tangencialmente, formas geométricas sin relación alguna con los elementos clásicos como cuadrados, triángulos, círculos, cubos, esferas... pero que eran de un interés esencial en todos los problemas que planteaba la física en sus múltiples variedades, con especial importancia de los fluidos.

Vista la situación y con esta perspectiva no es de extrañar que los matemáticos estuvieran desesperados. Claro que todo esto tiene que explicarse en su justa medida, esta claro que las cosas estaban muy mal, pero tampoco se trata de una ruina total. No se podía tirar por la borda todo lo que se había echo, que era mucho, ni tampoco había demasiado acuerdo entre los matemáticos (ni lo hay actualmente) sobre lo que es lo más importante o urgente o útil en matemáticas - fue una cuestión muy discutida en torno al cambio de siglo xix a xx, que actualmente esta un poco mas abandonada, el qué son las mates y como debemos actuar con ellas.

Nadie tenía muy claro como plantear el problema de los fundamentos y la fiabilidad, tampoco todo el mundo tenía interés en ello,

Lo que si estaba muy generalizado y repartido abundantemente entre los matemáticos era el optimismo que inspiraba este campo del conocimiento, de orígenes perdidos en la antigüedad y del que se percibía que aquel siglo era una época dorada del mismo. Una larga y fecunda tradición respaldaba y daba confianza a los nuevos ataques y un creciente progreso y conquista del territorio inexplorado. Y, aunque se había llegado a resultados impensables poco tiempo atrás, estaba fuera de toda duda que toda ambición podía ser satisfecha antes o después. A todo esto es preciso no olvidar el curso de los intereses que han surgido en torno de las mates a lo largo de la historia y como teorías enteras fueron abandonadas, multitud de herramientas útiles y elegantes dejadas de lado, criterios de estilo y colecciones de problemas sufrieron cambios drásticos en sucesivas ocasiones y otros destacados golpes de azar.

Mejor no añado más, todo lo relacionado con esta época ya lo comentaré mas tarde...

Brevemente, unos pocos profesionales plantearon las bases del análisis sobre el concepto de límite y la correcta definición de los números reales (Cauchy y Weierstrass). Una serie de trabajos desarrollaros toda la reconstrucción del análisis sobre la aritmética, de la esencia de los números y repitiendo ciertos trucos en una cierta dirección se podía asegurar la firmeza del análisis. Luego se fraguó de forma sencilla el modelo de los números naturales (Dedekind y Peano). Parecía que estábamos sobre suelo firme.

Esto no fue todo, también fue necesario un nuevo concepto, topología, un campo que trataba de las relaciones de proximidad entre conjuntos de puntos. Tuvo un fuerte desarrollo gracias a Riemann primero, que estudiando los planteamientos de la geometría no euclídea, y las superficies curvas en los problemas de la física, desarrollo un razonamiento profundamente fructífero continuado por Cantor y multitud de matemáticos mas. El estudio de la topología general es también esencial para la mejor comprensión básica del análisis.

Y, sin duda, parte de lo que permitió estos avances y otros futuros fue el desarrollo de la lógica. Después de las estructuras tradicionales de Aristóteles, levemente matizadas, surgió en el ese siglo notable la lógica matemática, la cual venia reforzada por unos criterios suficientemente fuertes como para permitir una autentica explosión de nuevos e importantes resultados.

Conjuntamente, la topología y los números naturales parecían la base de todo. La geometría se seguía del álgebra llamada superior, que fue desarrollándose a partir de los trabajos de Galois hacia el establecimiento de la teoría de grupos y multitud de estructuras más. La combinatoria estaba también en profunda relación con los números y las probabilidades u otras secciones menos centrales no se añadieron hasta principios del siglo xx, pero no parecía que tuvieran ningún efecto desestabilizador.

De la topología principalmente, pero con una mirada puesta en los números naturales, se llego a lo que aun hoy es la base: la teoría de conjuntos y el tratamiento y la interpretación que recibe la matemática con esto. La idea es muy simple, ya lo explicare mejor otro día. Lo que ahora viene es la parte que interesa.

Había tres planteamientos principales en cuanto al tratamiento de la verdad en matemáticas. Remontándose a una discusión que viene ya de Aristóteles y, pasando por varios filósofos, llego a Leibniz, quien propuso su propio criterio, con sus aportaciones y reflexiones, que daría lugar al logicismo (la matemática como lenguaje).

Este punto de vista sitúa a la matemática dentro de la lógica: partiendo solo de un conjunto de definiciones, se puede deducir toda la matemática como inferencias lógicas (la matemática es un conjunto de tautológicas que son absolutamente necesarias e inevitables). Logicistas destacados fueron Richard Dedekind, Gotlob Frege y Bertrand Russell. Ellos empezaron un trabajo titánico para establecer los más firmes fundamentos de esta disciplina. Consiguieron unos resultados delirantes, con unos sutiles pero indeseables problemas.

Otro planteamiento era el formalismo. Consistía en aceptar que se debe partir de algo, de axiomas indemostrados. Para el formalismo, la matemática es como un juego donde, partiendo de un unas normas iniciales, se puede desarrollar todo lo demás. Georg Cantor, Ernst Zermelo y David Hilbert fueron quienes contribuyeron a promocionar esta visión. A Cantor se debe la versión naïve de la teoría de conjuntos, que Zermelo corrigió y perfecciono. Hilbert propuso su programa formalista, que consiste en la construcción de una red de proposiciones que partiendo de una base de axiomas INDEPENDIENTES (de los que no se pueda derivar por inferencia lógica proposiciones contradictorias) se pueda llegar a todas las proposiciones verdaderas en matemáticas.

Lo vuelvo a explicar porque es muy importante:

La idea formalista consiste en encontrar un conjunto de axiomas que cumplan ciertas condiciones: sean independientes (no se pueda deducir ninguno de los demás, o que no se solapen. Se trata de evitar la redundancia y optimizar la organización, al mismo tiempo que permite verlo todo más claramente), que no sean contradictorios (que ninguna proposición pueda ser deducida simultáneamente con su negación), y que contengan o generen toda la matemática existente (la ambición de que cualquier proposición cierta pueda ser deducida, antes o después, de los axiomas según reglas de inferencia). Conjuntamente, la no contradicción y completitud de los axiomas (2a y 3a condiciones anteriores) implican que ninguna proposición falsa puede ser deducida, y ahí se supone que toda proposición es cierta o falsa.

Su importante trabajo tiene una enorme deuda con el trabajo de los logicistas.

En cuanto al constructivismo o intuicionismo, el tercer planteamiento en pugna pero de menor belicosidad, se presentaba la idea de unas matemáticas especialmente unidas al ser humano, a la mente humana y su forma de ver el mundo. Para este grupo de gente las matemáticas verdaderas son las matemáticas útiles, las que nos permiten asimilar el mundo y operar sobre el. Las mates están enteramente atadas a nuestras capacidades y limitaciones cognitivas, de esta forma se rechaza de raíz muchas herramientas deductivas a las que los matemáticos están muy apegados. De entre los intuicionistas, el que presento su discurso de forma más coherente, clara y factible fue Henri Poincaré. Os recomiendo leer "La sciènce et l'hypothèse", la mas significativa exposición de sus ideas en torno a la epistemología de las matemáticas.

Bueno, ahora toca ya la descripción de los problemas surgidos, principalmente, en torno al logicismo y formalismo, que condujeron a la rápida conclusión del teorema de Gödel y otros resultados afines. Lo más divertido de todos estos problemas fatales, con toda su multiplicidad e incomodidad, era el hecho que todos eran variaciones de una misma idea básica. Una idea esencial que ya se hallaba oculta en algunos teoremas de Cantor de fin del siglo xix en cuestiones centrales de la teoría de conjuntos. Y, de hecho, esa misma idea es la que, presentada adecuadamente, da lugar al razonamiento de Gödel. Ahí va:

· En un pueblo sólo hay un barbero hombre, que tiene como norma afeitar sólo a los hombres que no se afeitan a si mismo y a todos ellos. Entonces, la pregunta es: ¿quién afeita al barbero? (Esa es una descripción de la llamada paradoja de Russell)

Concretamente, Gödel estableció un mecanismo de asociación entre proposiciones y números naturales, que le permitía razonar de un modo muy curioso para lograr una proposición (aunque, evidentemente, no decía como encontrarle. Solo enunciaba su existencia, no su construcción) que declaraba su no demostrabilidad.

El caso es que, con su método se podía asociar en un mismo enunciado una propiedad que se autorefería y daba propiedades de si misma. Los detalles son delicados de explicar, aunque no de entender.