Guerra de sexes

Recentment he descobert un xat força peculiar: tothom que hi participa és home o dona (òbviament) i, també, masclista o feminista. El més interessant, però, és que els homes masclistes i les dones feministes sempre diuen la veritat (mai menteixen), en canvi els homes feministes i les dones masclistes mai diuen la veritat (sempre menteixen).

Per exemple, si un usuari afirma ser una dona deduïm que és feminista (home o dona). L'explicació és que un home masclista no pot mentir afirmant ser dona, ni una dona masclista pot dir correctament ser dona. En canvi, una dona feminista pot perfectament afirmar ser dona (i dir veritat) i un home feminista pot mentir afirmant ser dona.

Un altre exemple, si un usuari ens diu que és un home feminista es dedueix que és una dona masclista. Un home masclista no pot mentir dient ser feminista, ni una dona feminista pot mentir dient ser home. Un home feminista no pot dir que ho és ja que sempre menteix. Una dona masclista que afirmi ser una home feminista és perfectament coherent ja que menteix.

Dos individus, Alfa i Beta, mantenen el següent diàleg:
Alfa: Tots dos som homes.
Beta: Tots dos som feministes.
Alfa: Això és mentida.

Abans de tot, cal advertir que com que Alfa i Beta es contradiuen un dels dos menteix i l'altre diu veritat. Alfa pot dir veritat o mentida. Si ens creiem Alfa, és cert que tots dos són homes i és fals el que diu Beta (és fals que tots dos siguin feministes, almenys un és masclista). Es dedueix que Alfa és home masclista i Beta és home feminista (menteix). Si no ens creiem Alfa, hi ha almenys una dona i el que diu Beta és cert (tots dos són feministes). Per tant, Alfa és home feminista (menteix) i Beta dona feminista (diu veritat). No es té prou informació per decidir sobre cap dels dos casos, però és ben segur que Alfa és home (masclista o feminista) i Beta és feminista (home o dona).

Observeu que es pot donar el cas que un usuari declari que ell és masclista, però que ell i un altre són feministes. Simplement menteix. Ell és feminista (i home), però el seu company ha d'ésser masclista.

Ara que ja tenim clares les condicions podem passar a les qüestions. És important raonar bé les respostes.

1 Què sabem d'un usuari que afirma ser feminista?

2 Qui pot afirmar ser un home masclista?

3 Si algú ens diu que és home o feminista, que en sabem?

4 I si ens diu que és dona o feminista?

5 Algú diu que si és home és masclista. Què és?

6 Algú pot afirmar que és dona si i només si és masclista?

7 Menteix qui diu que un home va afirmar ser feminista?

8 Qui pot dir "Aquesta frase ja l'he dit abans"?

9 Dos personatges, Theta i Zeta, comenten:
Theta: Almenys un dels dos és home.
Zeta: Almenys un dels dos és feminista.
Theta: Això no és cert.
Què en sabem?

10 Determineu completament Gamma i Delta:
Gamma: Almenys un dels dos és home.
Delta: De fet ho som tots dos.
Gamma: Almenys un dels dos és feminista.
Delta: De fet ho som tots dos.

11 Què són dos individus, Kappa i Lambda, que s'expliquen així?
Kappa: Lambda és dona.
Lambda: Kappa és dona.
Kappa: Lambda és feminista.
Lambda: Kappa és masclista.

12 Vegeu que Pi i Psi són de sexe oposat.
Pi: Si Psi és dona, jo sóc masclista.
Psi: Si Pi és home, jo sóc feminista.

13 En una única conversa amb Sigma:
Pregunta: Ets home?
Sigma: No.
Pregunta: Ets feminista?
Sigma: No t'ho diré.
Què és Sigma?

He passat molt bones estones en aquest xat. S'hi pot trobar gent molt interessant i els diàlegs són altament surrealistes. No hi cap dubte que es tracta del xat més confús i alhora més precís que es pot trobar. Per cert, jo una vegada hi vaig afirmar ser home o hi vaig afirmar ser masclista, però ara no recordo què vaig dir exactament. I, una altra vegada, vaig declarar ser dona o vaig declarar ser feminista, però no puc recordar què vaig dir. ;-)

Les qüestions anteriors són problemes de lògica, que es poden resoldre a partir de les condicions, raonament pur i una mica d'intuïció. Es tracta d'exemples de problemes lògics presentats de forma amable que, quan s'hi aprofundeix, permeten copsar l'autèntic potencial de la lògica matemàtica i es poden entendre resultats molt destacats i summament elaborats.

La simetría, el arte de resolver problemas

Cuando se habla de simetría mucha la gente piensa en un espejo. Normalmente se dice que el espejo cambia izquierda y derecha, pero no es así. Lo que ocurre es que el espejo cambia delante y atrás, pero dada la simetría bilateral del cuerpo humano nos parece (erróneamente) que cambia la derecha por la izquierda. El espejo nos muestra como una posible realidad grande se reduce a otra más pequeña mediante la asociación de elementos diferentes con una estructura común. Simetría es lo que queda igual después de haber realizado ciertos cambios. Con un espejo, esto sucede cuando contamos a la vez los dos lados del espejo: al realizar una transformación que cambia cada punto de un lado por otro del otro lado a exactamente la misma distancia del espejo y por el camino más corto en línea recta, el resultado final es que no ha habido cambios apreciables. De esto se deduce que la mitad de esta realidad es prescindible, conocer una mitad es suficiente para describirla toda. Es por esto que aunque sea utilizado frecuentemente, un espejo no nos suele engañar con una nueva realidad y ya sabemos que podemos prescindir del mundo que hay “dentro del espejo”. Pero no todas las simetrías son tan claras y evidentes como la del espejo.

En matemáticas, el estudio de la simetría se desarrolla en el marco de la teoría de grupos. Un grupo matemático es un conjunto de elementos junto con una operación binaria (a cada par ordenado de elementos le asigna un tercero) que cumple unas condiciones muy específicas (propiedad asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento inverso) que son suficientes para desarrollar toda la potencia de la teoría. Otras propiedades se derivan directa o indirectamente de estas, pero también se pueden imponer propiedades adicionales que nos permiten hablar de tipos especiales de grupos. La teoría de grupos se aplica a la simetría como un método para organizar las transformaciones que dejan invariantes a diferentes objetos geométricos. Tomemos como ejemplo un cuadrado (un pañuelo rojo encima de la mesa):

Partiendo desde una posición privilegiada nos preguntamos como podemos mover el cuadrado de modo que quede indistinguible de la posición inicial. Podemos girarlo 45º a la derecha, 180º a la derecha, 45º a la izquierda (que es lo mismo que decir 270º a la derecha), dejarlo quieto, levantarlo y darle la vuelta manteniendo fijas cada una de sus diagonales o las dos líneas que unen los puntos medios de dos lados opuestos (“aplicarle una simetría de eje las diagonales o los segmentos que unen los puntos medios”). Estas ocho posibilidades de entre infinitas de mover un cuadrado (girarlo 44º a la derecha, 42º, 142.5º, 33.33º… o darle la vuelta manteniendo fijas otras líneas que no sean las citadas) son las que no nos permiten saber si alguien ha movido el cuadrado (pañuelo). Son las únicas que nos permiten establecer una relación íntima entre la posición inicial y la final. Pues estos ocho movimientos forman un grupo matemático dado que hacer dos movimientos seguidos es siempre hacer otro movimiento del grupo. El elemento neutro sería el no mover el cuadrado, el elemento inverso de girar 45º a la derecha es girar 45º a la izquierda…

Este inicio tan inocente desencadena una avalancha de resultados que se pueden aplicar casi por todas partes: En cristalografía, el estudio del las posibilidades de organización de los cristales les resulta muy útil a los químicos, geólogos, mineralogos y biólogos, pero sin la potente arma de la teoría de grupos, su trabajo sería casi imposible. También la física tiene una enorme afinidad con la teoría de grupos, donde el conjunto de simetrías permitidas en la naturaleza define los principios de conservación que rigen toda la estructura de sucesos físicos según un orden claro y detallado.

Aun así, la simetría no se reduce a la teoría de grupos. Otra característica importante es la relación entre simetría y belleza. Esto es algo innegable, pero podemos preguntarnos cómo sucede esto. ¿Qué consideramos bello? O, por lo menos, ¿en qué encontramos belleza en la simetría? Una respuesta posible y adecuada es que ante un diseño aparentemente complejo pero de una gran simplicidad de fondo, nos entra una sensación de orden en el caos que es difícil ignorar. Ciertamente, podemos encontrarnos ante una estructura compleja y aparentemente sin sentido, como los cuadros de Eduardo, pero cuando nos adentramos en su estructura, descubrimos sus secretos, vemos su delicada construcción y apreciamos su poderoso orden ya no nos podemos librar de la sensación de que el mundo es un lugar hermoso. Esta apreciación por el orden de la simetría proviene de que, como humanos, nos es más fácil comprender un conjunto con pocos elementos que uno con muchos. Por esta razón, al verificar que un conjunto con muchos elementos se puede comprender con solo pocos elementos, el gozo conseguido lo llamamos belleza.

Aquí es donde entra la simetría. Cuando ante un problema complejo, con tantos detalles a tener en cuenta que no hay una idea clara de donde se esconde la solución, es muy útil establecer paralelismos y encontrar similitudes entre diferentes partes del problema que permitan simplificar el problema. Saber cuando objetos o hechos aparentemente diferentes representan un mismo objeto o hecho bajo lenguajes diferentes. Esto permite apreciar regularidades que sugieren posibles soluciones o, por lo menos, familiarizarnos con el problema y conseguir una intuición sobre su estructura. Es preciso señalar que la diferente complejidad de los problemas se debe muchas veces a la familiaridad con cierto tipo de estructuras, con lo que disponer de un bagaje de problemas resueltos nos permite acceder a la resolución de muchos más.

Lo mismo que en matemáticas o la ciencia, en el arte pictórico, musical, literario… la repetición selectiva de patrones de referencia nos proporciona un asidero para no perdernos. Un patrón sin ningún tipo de simetría sería una secuencia o un diseño completamente azaroso, sin ningún tipo de orden, que nos asusta por su imprevisibilidad y falta de coherencia. Por esto, ninguna obra de arte perdurable ha surgido por simple acumulación de notas, palabras, gotas de pintura, ladrillos… al azar. Desde un punto de vista de la teoría de la información, las obras de azar son abundantes porque no hay una clara diferenciación entre ellas y no se perciben elementos de distinción. Se dice que son equiprobables y esto genera desinterés. Según el criterio de entropía de Shannon, una obra de arte destaca por diferenciarse del magma amorfo y caótico con un fuerte orden y, en consecuencia, una baja entropía; por este motivo, su elaboración exige un trabajo consciente. Como estos cinco textos, que hubieran podido ser combinados en 120 posibles ordenaciones, pero donde el orden de lectura no tiene porque ser necesariamente casual.

Aun así, no hace falta saber todo esto para gozar de la belleza que nos produce la simetría si estamos acostumbrados con su lenguaje. No hay nada más sencillo que utilizar el mecanismo de que nos ha dotado la evolución para saborear las sutilezas del arte y la ciencia. Tampoco el humor es ajeno a ello, como se puede comprobar repetidamente en los cuadros de innumerables autores, la formación de palíndromos y otros juegos de palabras. Hay juegos musicales basados en la simetría, como el Canon Cangrejo de Bach, que suena igual al invertir la secuencia temporal (simetría temporal), o el Scherzo-Dueto para violines de Mozart, en el que los dos intérpretes utilizan la misma partitura dándole la vuelta (simetría espacial).